Função Quadrática

Função Quadrática

Ou função Polinomial do 2º grau
Grau é toda função que pode ser expressa na forma
$f(x)=ax²+bx+c$ , com $a \neq 0$

Tenha hábito de identificar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da função. 

Discriminante  $\Delta$ 

Discriminante $\Delta$ (delta) é dado pela expressão.

$$\Delta = b^2 -4ac$$

Raízes da Função

I) Raiz de uma função é o valor de $x$ tal que $f(x)=0$.

II) O número de raízes da função quadrática pode ser determinado pelo valor do $\Delta$

Se  $\Delta>0$ então a função possui duas Raízes reais distintas; 

Se  $\Delta=0$ então a função possui duas Raízes reais Idênticas; 

Se  $\Delta<0$ então a função não possui Raízes reais.  

III) Caso o discriminante não seja negativo podemos aplicar a formula de Bhaskara para localizar as raízes dessa função: 

$$x= \dfrac {-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$$ 

ou seja 

$x_1= \dfrac {-b - \sqrt \Delta}{2a}$    e  $x_2= \dfrac {-b + \sqrt \Delta}{2a}$

Onde:

• $-b$ é o oposto do valor de b

• $2a$ é o dobro do valor de a

• $\sqrt \Delta$ é o valor da raiz quadrada do valor de $\Delta$ 

Soma das Raízes

A soma das raízes da equação é dada por $S= x_1+x_2$

Que também pode ser expressa por:

$$S=\dfrac {-b}{a}$$

Produto das Raízes

O produto das raízes da equação é dada por $P= x_1 \cdot  x_2$

Que também pode ser expressa por:

 $$P=\dfrac {c}{a}$$

Máximo e Mínimo

O valor do coeficiente $a$ determina se a função quadrática tem um valor máximo ou um valor mínimo.

• Se $a>0$ então a função tem valor mínimo; 

• Se $a<0$ então a função tem valor máximo. 

Esse valor é dado pelo ponto:

$$V(x_{v}, y_{v})$$

onde:

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$    e     $y_v=\dfrac {-\Delta}{4a}$      ou     $y_v=f(x_v)$

Gráfico

O gráfico da função quadrática é uma curva denominada $parábola$.

Podemos traçar o gráfico da função atribuindo alguns valores para $x$ e assim, localizando respectivos valores para $y$. Em seguida localizamos esses pontos $(x,y)$ no Plano Cartesiano. 

Alguns pontos são notáveis no gráfico

I) O vértice da Parábola. Valor onde a função tem valor máximo (ou mínimo).

$$V(x_{v}, y_{v})$$

II) As raízes da função. Intersecção do gráfico com o eixo $x$

$(x_1, 0)$  e $(x_2,0)$

III) O valor numérico de $y$ quando $x=0$. Intersecção do gráfico com o eixo $y$

$(0, c)$