Professor Cavalcante

Equação polinomial do primeiro grau com uma incógnita, ou simplesmente, equação do primeiro grau são equações que podem ser expressas na forma: $$ax+b=0$$ Onde $x$ é a incógnita e $a$ e $b$ são números reais. com $a\neq 0$ Exemplos : a) $2x-4=0$ $a=2 $ $b=-4$ b) $-3x=12$  pode ser escrita na forma $-3x-12=0$ $a=-3$ $b=-12$ c) $\dfrac {x}{4}-1=3$  pode ser escrita na forma $\dfrac{1}{4}x-4=0$ $a=\dfrac{1}{4}$ $b=-4$ d) $5x-15=12+2x$  pode ser escrita na forma $5x-2x-15-12=0$ ou seja $3x-27=0$ $a=3$ $b=-27$ Resolver uma equação é encontrar suas raízes, ou seja, encontrar o valor da incógnita ($x$). Usaremos operações inversas para encontrar o valor da raiz de uma equação do primeiro grau. Exemplos : Determinar o valor de $x$  nas equações abaixo: a) $x+12=14$ solução: $x+12=14$ $x=14-12$ (operação inversa da adição é a subtração) $x=2$ Portanto, 2 é a raiz dessa equação. b) $x-16=4$ solução: ...

Equação é toda sentença matemática expressa por um igualdade, que separa a equação em primeiro e segundo membros, e incógnitas. Igualdade: simbolo $=$;  Incógnitas: Letras que representam valores desconhecidos; primeiro membro: expressão a esquerda da igualdade; segundo membro: expressão a direita da igualdade. Exemplos : a) $x+3$ , não é uma equação pois não possui uma igualdade; b) $4+6$ ,  não é uma equação pois não possui uma igualdade e incógnita; c) $4+6=10$ , não é uma equação pois não possui incógnitas; d) $x+2=8$ ,  é uma equação; e) $x^2+3x=0$ , é uma equação. Equações podem ter uma ou mais incógnitas. Exemplos : a) $3x+12=7$ , Equação com uma incógnita ($x$) b) $x+y=15$ , Equação com duas incógnitas ($x$ e $y$ ) c) $2x-y=z$ , Equação com três incógnitas ($x,\ y$ e $z$) d) $x^2-4x=y$ , Equação com duas incógnitas ($x$ e $y$ ) e) $2y=x+4z^3$ , Equação com três incógnitas ($x,\ y$ e $z$) O grau de uma equação é determinado pelo grau do m...

EXERCÍCIOS Sequências 1) Escrever os 5 próximos termos da sequência: a) (1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, ....) b) (3, 1, 6, 2, 9, 3, 12, 4, ...) c) (1, -2, 3,- 4, 5, -6, ...) d) (1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5,...) 2) Escrever uma sequências de 8 termos em que: a) $a_n=\dfrac {1}{n}$ b) $a_n=\dfrac {n}{n+1}$ c) $a_n=n^2+n$ d) $a_n=3n-1$ Progressão Aritmética 1) Determinar o décimo segundo termo da P.A: a) (4, 7, 10, ...) b) (5, 9, 13, ...) c) (10, 9, 8, ...) d) (25, 10, -5, ...) 2) Qual a razão da P.A a seguir: a) (0, 4, 8,...) b) (5, 0, -5,...) c) (3, 9, 15,...) d) (16, 14, 12, ...) 3) Qual o primeiro termo de uma P.A de: a) $a_3=40$ e $r=7$ b) $a_5=38$ e $r=3$ c) $a_4=27$ e $r=-6$ d) $a_8=6$ e $r=-4$ 4) Qual o quarto termo da P.A de: a) $a_5=30$ e $a_3=36$ b) $a_6=27$ e $a_8=15$ c) $a_2=8$ e $a_4=12$ d) $a_1=10$ e $a_3=-4$ 5) Calcule $a_25$ na P.A em que: a) $a_1=8$ e $r=5$ b) $a_1=12$ e $r=4$ c) $a_1=-30$ e $r=8$ d) $a_1=0$ e $r=-3$ 6) Calcule $a...

Progressão Geométrica  (P.G), é uma sequência em que todos os termos, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante $( q) $ chamada razão da P.G. Exemplos : a) $(1, \ 3, \ 9,\  27, \ 81, \ 243, ...) $ é uma P.G de razão $3$; b) $(2, \ 4, \ 8, \ 16, \ 32, \ 64, ...)$ é uma P.G de razão $2$. Dada a P.G $(a_1, \ a_2,\  a_3, ..., \ a_{n-1},\  a_n) $, com $n\in \mathbb {N}^*$ e de razão $q$. Os termos dessa P.G são dados pela fórmula de Recorrência: $$a_n=a_{n-1}\cdot q$$ com $n>1$ Demonstração : $a_1=a_1$ $a_2=a_1 \cdot q$ $a_3=a_2\cdot q$ $a_4=a_3\cdot q$ $a_5=a_4\cdot q$ . . . $a_n=a_{n-1}\cdot q$ Para determinar a razão de uma P.G é suficiente que tomemos um elemento da sequência e efetuar o quociente com elemento anterior. Ou seja, Razão de uma P.G é o quociente entre dois termos consecutivos. $q=a_2\div a_1=a_3\div a_2=...=a_n\div a_ {n-1}$ Ou $q=\dfrac {a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=...=\dfrac {a_n}{a_ {n-1}}$ ...

Múltiplos são números que resultam da multiplicação de um número inteiro qualquer por um número natural. Exemplos : Múltiplos de 2 $M_{(2)}=\{0,\ 2, \ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14, ... \}$ Múltiplos de 3 $M_{(3)}=\{0,\ 3, \ 6,\  9, \ 12, \ 15,\ 18, ...\}$ 3 Múltiplos de 5 $M_{(5)}=\{0, \ 5, \  10, \  15, \  20, \ 25, ...\}$ As vezes precisamos  verificar múltiplos de dois números simultaneamente. Chamamos a esses números de $múltiplos \ comuns$. Exemplos : Múltiplos comuns de 2 e 3 $M_{(2,3)}=\{0,\  6,\  12, \ 18,\  24,... \}$ Múltiplos comuns  de 2 e 5 $M_{(2,5)}=\{0,\ 10, \ 20,\ 30, \ 40... \} $ Múltiplos comuns  de 3 e 5 $M_{(3,5)}=\{0,\ 15, \ 30,\ 45,\ 60, ... \} $ Chamamos de  $m.m.c$, de dois ou mais números, ao menor múltiplo comum , não nulo, desses números.  Exemplos : $m.m.c_{(2,3)}=\{6\} $ $m.m.c_{(2,5)}=\{10\} $ $m.m.c_{(3,5)}=\{15\} $ Obs.       I) Zero é múltiplo ...

A multiplicação de fração é bem simples. Dada as frações $\dfrac {a}{b}$  e $\dfrac {c}{d}$, o produto dessas frações é dado por $$\dfrac  {a}{b} \cdot \dfrac  {c}{d} =\dfrac {a\cdot c}{b\cdot d}$$ Ou seja A multiplicação de duas, ou mais, frações é obtida multiplicando:    I) Numerado por Numerador e    II) Denominador por Denominador. A divisão de frações obedece a regra  a seguir: Mantém se a primeira fração e efetua se o produto pelo inverso da segunda  fração.   Dada as frações $\dfrac {a}{b}$  e $\dfrac {c}{d}$, o quociente  dessas frações é dado por $\dfrac  {a}{b}\div \dfrac  {c}{d}=\dfrac  {a}{b}\cdot \dfrac  {d}{c}=\dfrac  {a\cdot d}{b\cdot c}$ Ir para: conceitos iniciais de fração Ir para: adição de frações

As equações são conhecidas há pelo menos 3,5 milênios. Seus registros na história história são bastantes comuns e aparecem registros nas civilizações Egípcia, Grega e Mesopotâmica. Equação do 2°, de uma incógnita, é toda equação que pode ser escrita na forma $$ax^2+bx+c=0$$ Com $a\neq 0$ Onde: $x$ é a incógnita; $a$ é o coeficiente de $x^2$; $b$ é o coeficiente de  $x $; $c$ é o termo independente. Lembre que : Raiz de uma equação é o valor que atribuído a incógnita x, torna a expressão numérica, correspondente a equação, verdadeira. Se os termos $b$ e/ou $c $ forem nulos  a equação é dita incompleta. Exemplos : 1) Identificar $a$, $b $ e $c $ nas equações: a) $2x^2+4x+6=0$ b) $x^2-3x+\sqrt {5}=0 $ Solução : a) $a=2$, $b=4$ e $c=6$ b) $a=1$, $b=-3$ e $c=\sqrt  {5} $ 2) Determinar o valor de $k \in \mathbb {R}$ para que a equação seja do $2°$ grau. a) $(2k+6)x^2+8x-3=0$ b) $(1-3k)x^2-3kx+1=0$ Solução : a) $a=2k+6$, $b=8$ e $c=-3$ Como $...

As operações entre frações devem seguir regras especificas para cada operação. ADIÇÃO DE FRAÇÕES : Com denominadores de mesmo valor: Repete-se o denominador  e adiciona-se os numeradores. Exemplos: a) $\dfrac  {2}{5}+\dfrac  {1}{5}=\dfrac {2+1}{5}=\dfrac  {3}{5}$ b)  $\dfrac  {1}{3}+\dfrac  {1}{3}=\dfrac {1+1}{3}=\dfrac  {2}{3}$ c)  $\dfrac  {3}{11}+\dfrac  {5}{11}=\dfrac {3+5}{11}=\dfrac  {8}{11}$ Com denominadores de valores distintos: Encontre frações equivalentes de mesmo  denominadores e efetuar a subtração como no item anterior. Exemplos: a) $\dfrac {1} {3}+\dfrac {1}{2}$ As frações equivalentes são: $\dfrac  {1}{2}=\dfrac  {2}{4}=\dfrac  {3} {6}=...$ e $\dfrac  {1}{3}=\dfrac  {2}{6}=\dfrac  {3} {9}=...$ Assim,  $\dfrac  {1}{3}+\dfrac  {1}{2}=\dfrac {2}{6}+\dfrac  {3}{6}=\dfrac  {5}{6}$ b) $\dfrac {2} {3}+\dfrac {3}{4}$ As ...

Fração é um número que representa uma ou mais partes de um todo(unidade). A representação de fração é dada por um uma barra horizontal em que abaixo fica a quantidade em que o todo foi dividido (Denominador) e acima fica a parte que está sendo tomada (Numerador). $$fração = \dfrac {numerador }{denominador} $$ Uma fração também é um quociente: $fração ={numerador} \div {denominador}$ Exemplos: a) $\dfrac {1}{2}$ b) $\dfrac {2}{3}$ c) $\dfrac {3}{6}$ Frações equivalentes : São frações que representam a mesma parte do todo; Se escrevem de maneira distintas, no entanto, representam a mesma quantidade. Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um   mesmo número natural não nulo. Exemplos: a) $\dfrac  {1}{2}=\dfrac  {2}{4}=\dfrac  {3}{6}=...=\dfrac  {10}{20}=... $ B) $\dfrac  {4}{5}=\dfrac  {8}{10}=\dfrac  {12}{15}=...=\dfrac  {40}{50}=... $ Frações...

Progressão Aritmética (P.A), é uma sequência em que todos os termos, a partir do segundo, é igual ao anterior acionado a uma constante $( r) $chamada razão da P.A. Exemplos : a) $(3, \ 6, \ 9,\  12, \ 15, \ 18, ...) $ é uma P.A de razão $3$; b) $(16, \ 14, \ 12, \ 10, \ 8, \ 6)$ é uma P.A de razão $-2$. Dada a P.A $(a_1, \ a_2,\  a_3, ..., \ a_{n-1},\  a_n) $, com $n\in \mathbb {N}^*$ e de razão $r$. Os termos dessa P.A são dados pela fórmula de Recorrência: $$a_n=a_{n-1}+r$$ Com $n>1$ Demonstração : $a_1=a_1$ $a_2=a_1+r$ $a_3=a_2+r$ $a_4=a_3+r$ $a_5=a_4+r$ . . . $a_n=a_{n-1}+r$ Para determinar a razão $r$ de uma P.A é suficiente que tomemos um elemento da sequência e efetuar a subtração com elemento anterior. Razão de uma P.A é a diferença entre dois termos consecutivos. $r=a_2-a_1=a_3-a_2=...=a_n-a_ {n-1}$ Obs: $r>0$ a P.A é crescente; $r <0$ a P.A é decrescente; $r=0$ a P.A é constante. Termo Geral de uma P.A Em alguns caso...

Os romanos utilizavam sete letras para representar números. Cada um dessas letras tinha um valor e a combinação delas formavam os demais números. $\{I, \ V, \ X,\  L, \ C, \ D, \ M \}$ No sistema de Numeração atual temos os seus respectivos valores equivalentes. $I$    Equivalente    $1$ Uma Unidade $V$    Equivalente     $5$ Meia Dezena $X$    Equivalente    $10$ Uma Dezena $L$    Equivalente    $50$ Meia Centena $C$    Equivalente    $100$ Uma Centena $D$    Equivalente    $500$ Meia Milhar $M$    Equivalente   $1000$ Uma Milhar Para determinar os demais números os romanos utilizavam algumas regras que constava a partir da combinação das sete letras utilizadas. Regra 1 Apenas as letras $I$, $X$, $C$ e $M$ poderiam ser repetidas. No máximo três veze...

Sequência é todo conjunto cujo elementos estão organizados em uma determinada ordem seja ela numérica ou não. exemplos : a) (Collor, F.H.C,Itamar Franco, Lula, Dilma) Sequência dos 5 presidentes pós “Diretas Já” b) (Centro Oeste, Norte, Nordeste, Sudeste, Sul)Sequência das regiões do Brasil c) $(0, \ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ ...)$ Sequência dos números pares. Pelos exemplos dado, podemos ver que sequências podem ser finitas ou infinitas. Tomaremos partir daqui apenas casos de sequências numéricas. Termos de uma sequência $(a_1, \ a_2,\ a_3, ... ,\ a_{n-1}, \ a_n, ...)$, com $n \in \mathbb {N}$ $a_1$  é o primeiro termo da sequência; $a_2$ é o segundo termo da sequência; $a_3$ é o terceiro termo da sequência; . . . $a_n$ é o n-ésimo termo da sequência. Uma sequência pode numérica pode ser identificada como crescente, decrescente, constante ou variável.. Sequência Crescente $(2,\ 10, \ 12, \ 16, \ 17, \ 18, \ 19, \ 200)$ $(1, \ 2, \ 4, \ 8, \...

Na teoria de conjunto algumas noções são aceitas sem definição. São elas:  Conjuntos,  Elementos e Pertinência.  A ideia de conjunto é a mesma ideia comum de coleção, agrupamento, etc.  Exemplos: a) $A= conjunto \ dos \ astros \  luminosos$ b) $B= conjunto \ dos \ sete \ pecados \  capitais$ Cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento ;  Exemplos: a) $Sol \ é \ um \ elemento \ do \ conjunto \ dos \  astros \ luminosos$ b) $Ira \ é \ um \ elemento \ do \ conjunto \ dos \  sete \ pecados\  capitais$ Um conjunto pode ser representado por: Enumeração, Propriedades e Diagramas . CONJUNTO POR ENUMERAÇÃO Quando identificamos entre chaves e separados por virgulas os elementos do conjunto. Exemplos: a) $A=\{a,\ e, \ i, \ o, \ u \}$ b) $B=\{0,\ 2,\  4, \ 6,\ 8 \}$ c) $C=\{ 3, \ 4, \ 5, 6  \}$ CONJUNTO POR PROPRIEDADE Quando identificamos entre chaves as propriedades de cada elemen...

A linguagem de símbolos é importante na matemática. Através desses símbolos podemos reduzir termos, facilitando assim a compreensão e ajudar na resolução de diversos problemas. A primeira ideia de símbolos que aprendemos foram a representação gráfica dos números, usando os algarismo indo-arábicos, a quais chamamos de numerais, que são:  $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \  6, \ 7, \ 8\  e \ 9$ No desenvolvimento dos números surge a necessidade operar entre eles, surgindo assim os símbolos operatórios(Aritmética): $+ $     Representa uma adição; $-$     Representa uma subtração; $\cdot$  ou $\times$     Representam um produto (multiplicação); $\div$ ou $\setminus$     Representam um quociente (divisão); $\sqrt{}$     Radical usado na operação Radiciação; $\sum$     Representa um Somatório; $\prod$      Representa um Produtório. As vezes preci...