Progressão Geométrica

Progressão Geométrica  (P.G), é uma sequência em que todos os termos, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante $( q)
$ chamada razão da P.G.

Exemplos:
a) $(1, \ 3, \ 9,\  27, \ 81, \ 243, ...) $ é uma P.G de razão $3$;

b) $(2, \ 4, \ 8, \ 16, \ 32, \ 64, ...)$ é uma P.G de razão $2$.

Dada a P.G
$(a_1, \ a_2,\  a_3, ..., \ a_{n-1},\  a_n) $, com $n\in \mathbb {N}^*$ e de razão $q$. Os termos dessa P.G são dados pela fórmula de Recorrência:
$$a_n=a_{n-1}\cdot q$$ com $n>1$

Demonstração:
$a_1=a_1$
$a_2=a_1 \cdot q$

$a_3=a_2\cdot q$
$a_4=a_3\cdot q$
$a_5=a_4\cdot q$
.
.
.
$a_n=a_{n-1}\cdot q$

Para determinar a razão de uma P.G é suficiente que tomemos um elemento da sequência e efetuar o quociente com elemento anterior. Ou seja,
Razão de uma P.G é o quociente entre dois termos consecutivos.

$q=a_2\div a_1=a_3\div a_2=...=a_n\div a_ {n-1}$
Ou
$q=\dfrac {a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=...=\dfrac {a_n}{a_ {n-1}}$

Obs:
$q>1$ a P.G é crescente;
$0<q<1$ a P.G é decrescente;
$q=1$ a P.G é constante.

Em alguns casos precisamos calcular um determinado elemento da P.G, no entanto, o não temos o termo anterior, tornando assim inviável a busca com a fórmula de recorrência.

Assim como em uma P.A,  é possível determinar qualquer termo se soubemos apenas o primeiro termo ($a_1$) e a razão ($q$)  da P.G. É necessário apenas o uso da fórmula:
$$a_n=a_1\cdot q^{ (n-1)}$$





Demonstração:
$a_1=. .\  .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .=a_1\cdot q^0$
$a_2=a_1\cdot q=\ .\ .\ .\  .\ .\ . = a_1\cdot q^1$

$a_3=a_2\cdot q=a_1\cdot q\cdot q\ \ =a_1\cdot q^2$
$a_4=a_3\cdot q=a_1\cdot q^2 \cdot q=a_1\cdot q^3$
$a_5=a_4\cdot q=a_1\cdot q^3 \cdot q=a_1\cdot q^4$
.
.
.
$a_n=a_{n-1}\cdot q=\ .\ .\ .\ .\ =a_1\cdot q^{(n-1)}$


A soma dos termos de uma P.G

A soma $S_n$ dos termos de uma P.G é dado por duas fórmulas.  Uma para P.G finitas e outra para P.G infinitas  de razão  $0 <q <1$

$$S=a_1\cdot \dfrac {q^n-1}{q-1}$$

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