Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (P.A), é uma sequência em que todos os termos, a partir do segundo, é igual ao anterior acionado a uma constante $( r)
$chamada razão da P.A.

Exemplos:
a) $(3, \ 6, \ 9,\  12, \ 15, \ 18, ...) $ é uma P.A de razão $3$;

b) $(16, \ 14, \ 12, \ 10, \ 8, \ 6)$ é uma P.A de razão $-2$.

Dada a P.A
$(a_1, \ a_2,\  a_3, ..., \ a_{n-1},\  a_n) $, com $n\in \mathbb {N}^*$ e de razão $r$. Os termos dessa P.A são dados pela fórmula de Recorrência:
$$a_n=a_{n-1}+r$$
Com $n>1$

Demonstração:
$a_1=a_1$
$a_2=a_1+r$

$a_3=a_2+r$
$a_4=a_3+r$
$a_5=a_4+r$
.
.
.
$a_n=a_{n-1}+r$

Para determinar a razão $r$ de uma P.A é suficiente que tomemos um elemento da sequência e efetuar a subtração com elemento anterior.

Razão de uma P.A é a diferença entre dois termos consecutivos.

$r=a_2-a_1=a_3-a_2=...=a_n-a_ {n-1}$

Obs:
$r>0$ a P.A é crescente;
$r <0$ a P.A é decrescente;
$r=0$ a P.A é constante.

Termo Geral de uma P.A
Em alguns casos precisamos calcular um determinado elemento da P.A, no entanto, o não temos o termo anterior, tornando assim inviável a busca com a fórmula de recorrência.

Não fique triste, pois, se soubemos apenas o primeiro termo  $a_1$ e a razão $r$ da P.A será possível determinar quaisquer elemento dessa P.A. É necessário apenas o uso da fórmula:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Demonstração:
$a_1=. .\  .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .=a_1+0r$
$a_2=a_1+r=\ .\ .\ .\  .\ .\ .\ \ = a_1+1r$

$a_3=a_2+r=a_1+r+r\ \ =a_1+2r$
$a_4=a_3+r=a_1+2r+r=a_1+3r$
$a_5=a_4+r=a_1+3r+r=a_1+4r$
.
.
.
$a_n=a_{n-1}+r=\ .\ .\ .\ .\ =a_1+(n-1)r$

Gauss
Um professor de matemática, querendo ocupar sua turma, pede a seus alunos que somem todos os números consecutivos de um a cem. Esperava ele que lhe tomassem um bom tempo, mas, para sua surpresa um garoto, de aproximadamente 8 anos de idade, lhe trás a solução em poucos instantes.  O nome desse garoto era Gauss. Garoto esse que viria a ser conhecido como príncipe da Matemática. Como Gauss fez isso?
$1\ +2\ +3\ +...+99\ +\ 100=$?
Simples, ele observou que:
$1+100=101$
$2+99=101$
$3+98=101$
.
.
.
$99+2$
$100+1$

Logo ele apenas teve que multiplicar 101 por 100. E como a soma estava duplicada precisou em seguida dividir tudo por 2.

$1+2+3+...+98+99+100$
+
$100+2+3+...+3+2+1$
=
$101+101+...+101+101=100\cdot 101=10100$

$10100\div 2=5050$

A soma dos termos de uma P.A

A soma $S_n$ dos $n$ termos de uma P.A é dado por

$$S=\dfrac {(a_1+a_n)n}{2}$$

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