As equações são conhecidas há pelo menos 3,5 milênios. Seus registros na história história são bastantes comuns e aparecem registros nas civilizações Egípcia, Grega e Mesopotâmica.
Equação do 2°, de uma incógnita, é toda equação que pode ser escrita na forma
$$ax^2+bx+c=0$$
Com $a\neq 0$
Onde:
$x$ é a incógnita;
$a$ é o coeficiente de $x^2$;
$b$ é o coeficiente de $x $;
$c$ é o termo independente.
Lembre que:
Raiz de uma equação é o valor que atribuído a incógnita x, torna a expressão numérica, correspondente a equação, verdadeira.
Exemplos:
1) Identificar $a$, $b $ e $c $ nas equações:
a) $2x^2+4x+6=0$
b) $x^2-3x+\sqrt {5}=0 $
Solução:
a) $a=2$, $b=4$ e $c=6$
b) $a=1$, $b=-3$ e $c=\sqrt {5} $
2) Determinar o valor de $k \in \mathbb {R}$ para que a equação seja do $2°$ grau.
a) $(2k+6)x^2+8x-3=0$
b) $(1-3k)x^2-3kx+1=0$
Solução:
a) $a=2k+6$, $b=8$ e $c=-3$
Como $a\neq 0$ então
$2k+6 \neq 0$
$2k\neq -6$
$k \neq \dfrac {-6}{2}$
$k \neq -3$
b) $a=1-3k $, $b=-3k $ e $c=1$
Como $a \neq 0$ então
$1-3k \neq 0$
$1 \neq 3k $ ou $3k \neq 1$
$k \neq \dfrac {1}{3} $
É quando a equação tem $b=0$, ou seja, sua forma é
$$ax^2+c=0$$ pois $$ax^2+0x+c=0$$
As raizes dessa equação é dada pela expressão:
$$x=\pm \sqrt {-\dfrac {c}{a}}$$
Demonstração:
$ax^2+c=0$
$ax^2=-c$ (isole $c$ no segundo membro da equação)
$x^2=-\dfrac {c}{a}$ (como $a \neq 0$ podemos dividir tudo por $a$)
$\sqrt {x^2}=\sqrt {-\dfrac {c}{a}}$ (aplicamos raiz quadrada nos dois membros da equação)
$x=\pm \sqrt {-\dfrac {c}{a}}$
Obs: Caso $\dfrac {c}{a}>0$ a equação não possui raízes reais.
Exemplos:
Determine o valor de $x$ nas equações a seguir:
a) $4x^2+1=0$
b) $2x^2-32$
Solução:
a) como $a=4$, $b=0$ e $c=1$ a equação é incompleta em $b$. No entanto a equação não tem solução real pois $\dfrac{b}{a} >0$.
R: $S=\{\ \}$
b) como a=2, b=0 e c=-32 a equação é incompleta em $b$. E a solução é dada por
$x_1=-\sqrt {-\dfrac {-32}{2}}$
$x_1=-\sqrt {16}$
$x_1=-4$
$x_2=\sqrt {-\dfrac {-32}{2}}$
$x_2=\sqrt {16}$
$x_2=4$
R: $S=\{-4, \ 4 \}$
É quando a equação tem $c=0$, ou seja, sua forma é
$$ax^2+bx=0$$ pois $$ax^2+bx+0=0$$
As raízes dessa equação é dada por
$$x_1=0$$ e $$x_2=-\dfrac {b}{a} $$
Demonstração:
$$ax^2+bx=0$$ colocando x em evidência temos
$$x (ax+b)=0$$
Como temos um produto em que o resultado é nulo, temos que pelo menos um dos fatores é nulo.
Se tomarmos $x=0$ a expressão $0\cdot (a\cdot 0+b)=0$ é verdadeira. Logo, $x=0$ é uma raiz.
Se tomarmos $x\neq 0$ então podemos dividir todos os termos por $x$
$x(ax+b)=0$
$\dfrac {x(ax+b)}{x}=\dfrac {0}{x}$
$ax+b=0$
$ax=0-b=-b $
$x=-\dfrac {b}{a} $
Exemplos:
Determine as raízes da equação:
a) $2x^2-16x=0$
b) $81x-27x^2=0$
Solução:
a) Como $a=2$, $b=-16$ e $c=0$, então a equação é incompleta em $c$. Logo as raízes são:
$x_1=0$ e $x_2=-\dfrac {-16}{2}=8$
R: $S=\{0,\ 8 \}$
b) Como $a=-27$, $b=81$ e $c=0$, então a equação é incompleta em $c$. Logo as raízes são:
$x_1=0$ e $x_2=-\dfrac {81}{-27}=3$
R: $S=\{0,\ 3 \}$
As primeiras soluções das equações do 2° grau se dava por um método de completar quadrado. O método consiste em encontrar um trinômio quadrado perfeito a partir do primeiro membro da equação.
Produtos Notáveis
$$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$$
$$(x-k)^2=x^2-2kx+k^2$$
Exemplos:
a) $x^2+4x+3=0$
b) $2x^2-24x+64=0$
Solução:
a) $x^2+4x+3=0$
Tem coeficientes $a=1$, $b=4$ e $c=3$
$2k=4$ portanto $k=2$ e $k^2=4$
Assim, completando quadrados temos que adicionar 1 a 3 para que se torne 4.
$x^2+4x+3 +1=0+1 $
$x^2+4x+4=1$
$(x+2)^2=1$
$(x+2)=\pm \sqrt {1} $
$x+2=\pm 1$
$x=-2\pm 1$ portanto $x_1=-2-1=-3$ e $x_2=-2+1=-1$
R: $S=\{-3,\ -1 \}$
b)$2x^2-24x+64=0$
Primeiro simplificamos a equação dividindo todos os termo por 2, assim teremos:
$x^2-12x+32=0$
Tem coeficientes $a=1$, $b=-12$ e $c=32$
$2k=-12$ portanto $k=-6$ e $k^2=36$
Assim, completando quadrados temos que adicionar 4 a 32 para que se torne 36.
$x^2-12x+32 +4=0+4$
$x^2-12x+36=4$
$(x-6)^2=4$
$(x-6)=\pm \sqrt {4} $
$x-6=\pm 2$
$x=6\pm 2$ portanto, $x_1=6-2=4$ e $x_2=6+2=8$
R: $S=\{4,\ 8 \}$
A Solução da equação do segundo grau leva o nome de Bhaskara, matemático do Indiano (1114-1185). Convém observar que tal nome não oficial em todos os países pois, sabe se que a formula, que leva seu nome nao foi elaborada por ele.
A fórmula:
$$x=\dfrac {-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Onde
$$\Delta=b^2-4ac $$
A fórmula pode ser demonstrada por completamento de quadrado.
Dada a equação $ax^2+bx+c=0$
dividimos tudo por $a $
$ax^2+bx+c=\dfrac{ ax^2}{a}+\dfrac {bx}{a}+\dfrac {c}{a}=0$
$x^2+\dfrac {b}{a}x+\dfrac {c}{a}=0$
Comparando com produtos notáveis temos:
$2k=\dfrac {b}{a}$ ou seja $k= \dfrac {b}{2a}$
Completando quadrado na equação
$x^2+\dfrac {b}{a}x+\dfrac {c}{a}=0$
$x^2+\dfrac {b}{a}x=-\dfrac {c}{a}$
$x^2+\dfrac {b}{a}x+\left(\dfrac {b}{2a}\right)^2=+\left (\dfrac {b}{2a} \right)^2-\dfrac {c}{a}$
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)^2=\dfrac {b^2}{4a^2}-\dfrac {c}{a}$
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)^2=\dfrac {b^2}{4a^2}-\dfrac {4ac}{4a^2}$
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$
Aplicando Radical nos dois membros da igualdade temos
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)=\pm\sqrt {\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}}$
$x+\dfrac {b}{2a}=\pm \dfrac {\sqrt {b^2-4ac}}{2a} $
$x=-\dfrac {b}{2a} \pm \dfrac {\sqrt {b^2-4ac}}{2a} $
$$x=\dfrac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$$
Fazendo $\Delta = b^2-4ac $ temos:
$$x=\dfrac {-b\pm\sqrt {\Delta}}{2a} $$
Exemplos:
Determine, em $\mathbb{R}$, as raízes da equação:
A soma $S$ de suas raízes é dada por
$S=x_1+x_2$
Usando a solução de Bhaskara temos
$S=\dfrac {-b-\sqrt {\Delta}}{2a}+\dfrac {-b+\sqrt {\Delta}}{2a} $
$S=\dfrac {-b-\sqrt {\Delta}-b+\sqrt {\Delta}}{2a}=\dfrac {-2b}{2a} $
$$S=-\dfrac {b}{a} $$
Seja $x_1$ e $x_2$ as raízes da equação $ax^2+bx+c=0$.
O produto $P$ de suas raízes é dada por
$P=x_1\cdot x_2$
Usando a solução de Bhaskara temos
$P=\left (\dfrac {-b-\sqrt {\Delta}}{2a}\right)\cdot \left (\dfrac {-b+\sqrt {\Delta}}{2a} \right)$
$P=\left[ \dfrac {(-b)^2-b\sqrt {\Delta }+b\sqrt {\Delta}-(\sqrt {\Delta})^2}{2a\cdot 2a} \right] $
$P=\dfrac {b^2-\Delta}{4a^2} =\dfrac {b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}$
$P=\dfrac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac {4ac}{4aa}$
$$P=\dfrac {c}{a} $$
As expressões $S=-\dfrac {b}{a} $ e $P=\dfrac {c}{a} $ são conhecidas como $relações \ de \ Girard $.
Podemos escrever a equação $ax^2+bx+c=0$ usando as relações de Girard.
$x^2+\dfrac {b}{a} x+ \dfrac {c}{a}=0$
$$x^2-Sx+P=0$$
Equação do 2°, de uma incógnita, é toda equação que pode ser escrita na forma
$$ax^2+bx+c=0$$
Com $a\neq 0$
Onde:
$x$ é a incógnita;
$a$ é o coeficiente de $x^2$;
$b$ é o coeficiente de $x $;
$c$ é o termo independente.
Lembre que:
Raiz de uma equação é o valor que atribuído a incógnita x, torna a expressão numérica, correspondente a equação, verdadeira.
- Se os termos $b$ e/ou $c $ forem nulos a equação é dita incompleta.
Exemplos:
1) Identificar $a$, $b $ e $c $ nas equações:
a) $2x^2+4x+6=0$
b) $x^2-3x+\sqrt {5}=0 $
Solução:
a) $a=2$, $b=4$ e $c=6$
b) $a=1$, $b=-3$ e $c=\sqrt {5} $
2) Determinar o valor de $k \in \mathbb {R}$ para que a equação seja do $2°$ grau.
a) $(2k+6)x^2+8x-3=0$
b) $(1-3k)x^2-3kx+1=0$
Solução:
a) $a=2k+6$, $b=8$ e $c=-3$
Como $a\neq 0$ então
$2k+6 \neq 0$
$2k\neq -6$
$k \neq \dfrac {-6}{2}$
$k \neq -3$
b) $a=1-3k $, $b=-3k $ e $c=1$
Como $a \neq 0$ então
$1-3k \neq 0$
$1 \neq 3k $ ou $3k \neq 1$
$k \neq \dfrac {1}{3} $
- Incompleta em $b$
É quando a equação tem $b=0$, ou seja, sua forma é
$$ax^2+c=0$$ pois $$ax^2+0x+c=0$$
As raizes dessa equação é dada pela expressão:
$$x=\pm \sqrt {-\dfrac {c}{a}}$$
Demonstração:
$ax^2+c=0$
$ax^2=-c$ (isole $c$ no segundo membro da equação)
$x^2=-\dfrac {c}{a}$ (como $a \neq 0$ podemos dividir tudo por $a$)
$\sqrt {x^2}=\sqrt {-\dfrac {c}{a}}$ (aplicamos raiz quadrada nos dois membros da equação)
$x=\pm \sqrt {-\dfrac {c}{a}}$
Obs: Caso $\dfrac {c}{a}>0$ a equação não possui raízes reais.
Exemplos:
Determine o valor de $x$ nas equações a seguir:
a) $4x^2+1=0$
b) $2x^2-32$
Solução:
a) como $a=4$, $b=0$ e $c=1$ a equação é incompleta em $b$. No entanto a equação não tem solução real pois $\dfrac{b}{a} >0$.
R: $S=\{\ \}$
b) como a=2, b=0 e c=-32 a equação é incompleta em $b$. E a solução é dada por
$x_1=-\sqrt {-\dfrac {-32}{2}}$
$x_1=-\sqrt {16}$
$x_1=-4$
$x_2=\sqrt {-\dfrac {-32}{2}}$
$x_2=\sqrt {16}$
$x_2=4$
R: $S=\{-4, \ 4 \}$
- Incompleta em $c$
É quando a equação tem $c=0$, ou seja, sua forma é
$$ax^2+bx=0$$ pois $$ax^2+bx+0=0$$
As raízes dessa equação é dada por
$$x_1=0$$ e $$x_2=-\dfrac {b}{a} $$
Demonstração:
$$ax^2+bx=0$$ colocando x em evidência temos
$$x (ax+b)=0$$
Como temos um produto em que o resultado é nulo, temos que pelo menos um dos fatores é nulo.
Se tomarmos $x=0$ a expressão $0\cdot (a\cdot 0+b)=0$ é verdadeira. Logo, $x=0$ é uma raiz.
Se tomarmos $x\neq 0$ então podemos dividir todos os termos por $x$
$x(ax+b)=0$
$\dfrac {x(ax+b)}{x}=\dfrac {0}{x}$
$ax+b=0$
$ax=0-b=-b $
$x=-\dfrac {b}{a} $
Exemplos:
Determine as raízes da equação:
a) $2x^2-16x=0$
b) $81x-27x^2=0$
Solução:
a) Como $a=2$, $b=-16$ e $c=0$, então a equação é incompleta em $c$. Logo as raízes são:
$x_1=0$ e $x_2=-\dfrac {-16}{2}=8$
R: $S=\{0,\ 8 \}$
b) Como $a=-27$, $b=81$ e $c=0$, então a equação é incompleta em $c$. Logo as raízes são:
$x_1=0$ e $x_2=-\dfrac {81}{-27}=3$
R: $S=\{0,\ 3 \}$
- Completando Quadrados
Produtos Notáveis
$$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$$
$$(x-k)^2=x^2-2kx+k^2$$
Exemplos:
a) $x^2+4x+3=0$
b) $2x^2-24x+64=0$
Solução:
a) $x^2+4x+3=0$
Tem coeficientes $a=1$, $b=4$ e $c=3$
$2k=4$ portanto $k=2$ e $k^2=4$
Assim, completando quadrados temos que adicionar 1 a 3 para que se torne 4.
$x^2+4x+3 +1=0+1 $
$x^2+4x+4=1$
$(x+2)^2=1$
$(x+2)=\pm \sqrt {1} $
$x+2=\pm 1$
$x=-2\pm 1$ portanto $x_1=-2-1=-3$ e $x_2=-2+1=-1$
R: $S=\{-3,\ -1 \}$
b)$2x^2-24x+64=0$
Primeiro simplificamos a equação dividindo todos os termo por 2, assim teremos:
$x^2-12x+32=0$
Tem coeficientes $a=1$, $b=-12$ e $c=32$
$2k=-12$ portanto $k=-6$ e $k^2=36$
Assim, completando quadrados temos que adicionar 4 a 32 para que se torne 36.
$x^2-12x+32 +4=0+4$
$x^2-12x+36=4$
$(x-6)^2=4$
$(x-6)=\pm \sqrt {4} $
$x-6=\pm 2$
$x=6\pm 2$ portanto, $x_1=6-2=4$ e $x_2=6+2=8$
R: $S=\{4,\ 8 \}$
- Bhaskara
A Solução da equação do segundo grau leva o nome de Bhaskara, matemático do Indiano (1114-1185). Convém observar que tal nome não oficial em todos os países pois, sabe se que a formula, que leva seu nome nao foi elaborada por ele.
A fórmula:
$$x=\dfrac {-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Onde
$$\Delta=b^2-4ac $$
A fórmula pode ser demonstrada por completamento de quadrado.
Dada a equação $ax^2+bx+c=0$
dividimos tudo por $a $
$ax^2+bx+c=\dfrac{ ax^2}{a}+\dfrac {bx}{a}+\dfrac {c}{a}=0$
$x^2+\dfrac {b}{a}x+\dfrac {c}{a}=0$
Comparando com produtos notáveis temos:
$2k=\dfrac {b}{a}$ ou seja $k= \dfrac {b}{2a}$
Completando quadrado na equação
$x^2+\dfrac {b}{a}x+\dfrac {c}{a}=0$
$x^2+\dfrac {b}{a}x=-\dfrac {c}{a}$
$x^2+\dfrac {b}{a}x+\left(\dfrac {b}{2a}\right)^2=+\left (\dfrac {b}{2a} \right)^2-\dfrac {c}{a}$
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)^2=\dfrac {b^2}{4a^2}-\dfrac {c}{a}$
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)^2=\dfrac {b^2}{4a^2}-\dfrac {4ac}{4a^2}$
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$
Aplicando Radical nos dois membros da igualdade temos
$\left(x+\dfrac {b}{2a}\right)=\pm\sqrt {\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}}$
$x+\dfrac {b}{2a}=\pm \dfrac {\sqrt {b^2-4ac}}{2a} $
$x=-\dfrac {b}{2a} \pm \dfrac {\sqrt {b^2-4ac}}{2a} $
$$x=\dfrac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$$
Fazendo $\Delta = b^2-4ac $ temos:
$$x=\dfrac {-b\pm\sqrt {\Delta}}{2a} $$
Exemplos:
Determine, em $\mathbb{R}$, as raízes da equação:
a) $-x^2+4x-4=0$
b)$2x^2-2x-12=0$
c) $2x^2-10x+12=0$
d) $x^2-5x+4=0$
e) $3x^2-6x=0$
f) $-2x^2+8x=0$
b)$2x^2-2x-12=0$
c) $2x^2-10x+12=0$
d) $x^2-5x+4=0$
e) $3x^2-6x=0$
f) $-2x^2+8x=0$
g) $x^2-16=0$
h) $100-x^2=0$
i) $2x^2-32=0$
j) $4x^2 +1=0$
k) $3x^2+8x+7=0$
l) $-3x^4x-6=0$
h) $100-x^2=0$
i) $2x^2-32=0$
j) $4x^2 +1=0$
k) $3x^2+8x+7=0$
l) $-3x^4x-6=0$
- Soma das Raízes
A soma $S$ de suas raízes é dada por
$S=x_1+x_2$
Usando a solução de Bhaskara temos
$S=\dfrac {-b-\sqrt {\Delta}}{2a}+\dfrac {-b+\sqrt {\Delta}}{2a} $
$S=\dfrac {-b-\sqrt {\Delta}-b+\sqrt {\Delta}}{2a}=\dfrac {-2b}{2a} $
$$S=-\dfrac {b}{a} $$
- Produto das Raízes
Seja $x_1$ e $x_2$ as raízes da equação $ax^2+bx+c=0$.
O produto $P$ de suas raízes é dada por
$P=x_1\cdot x_2$
Usando a solução de Bhaskara temos
$P=\left (\dfrac {-b-\sqrt {\Delta}}{2a}\right)\cdot \left (\dfrac {-b+\sqrt {\Delta}}{2a} \right)$
$P=\left[ \dfrac {(-b)^2-b\sqrt {\Delta }+b\sqrt {\Delta}-(\sqrt {\Delta})^2}{2a\cdot 2a} \right] $
$P=\dfrac {b^2-\Delta}{4a^2} =\dfrac {b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}$
$P=\dfrac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac {4ac}{4aa}$
$$P=\dfrac {c}{a} $$
As expressões $S=-\dfrac {b}{a} $ e $P=\dfrac {c}{a} $ são conhecidas como $relações \ de \ Girard $.
Podemos escrever a equação $ax^2+bx+c=0$ usando as relações de Girard.
$x^2+\dfrac {b}{a} x+ \dfrac {c}{a}=0$
$$x^2-Sx+P=0$$
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