Equação do 1° Grau

Equação polinomial do primeiro grau com uma incógnita, ou simplesmente, equação do primeiro grau são equações que podem ser expressas na forma:

$$ax+b=0$$

Onde $x$ é a incógnita e $a$ e $b$ são números reais. com $a\neq 0$

Exemplos:

a) $2x-4=0$

$a=2 $

$b=-4$

b) $-3x=12$ 

pode ser escrita na forma $-3x-12=0$

$a=-3$

$b=-12$

c) $\dfrac {x}{4}-1=3$ 

pode ser escrita na forma $\dfrac{1}{4}x-4=0$

$a=\dfrac{1}{4}$

$b=-4$

d) $5x-15=12+2x$ 

pode ser escrita na forma $5x-2x-15-12=0$ ou seja $3x-27=0$

$a=3$

$b=-27$

• Resolver uma equação é encontrar suas raízes, ou seja, encontrar o valor da incógnita ($x$).

• Usaremos operações inversas para encontrar o valor da raiz de uma equação do primeiro grau.

Exemplos:

Determinar o valor de $x$  nas equações abaixo:

a) $x+12=14$

solução:

$x+12=14$

$x=14-12$ (operação inversa da adição é a subtração)

$x=2$

Portanto, 2 é a raiz dessa equação.

b) $x-16=4$

solução:

$x-16=4$

$x=4+16$ (operação inversa da subtração é a adição)

$x=20$

Portanto, 20 é a raiz dessa equação.

c) $3x=15$

solução:

$3x=15$

$x=\dfrac {15}{3}$ (operação inversa da multiplicação é a divisão)

$x=5$

Portanto, 5 é a raiz dessa equação.

d) $\dfrac {x}{2}=-5$

solução:

 $\dfrac {x}{2}=-5$

$x=-5 \cdot 2 $ (operação inversa da divisão é a multiplicação)

$x=-10$

Portanto, -10 é a raiz dessa equação.

• Quando a equação tem diversas partes devemos, para facilitar cálculos,  separar partes com incógnitas no primeiro membro e parte numéricas no segundo membro.

Exemplos:

a) $ 5x+2=3x+12$

solução:

$ 5x-3x=12-2$ (isole incógnitas no primeiro membro)

$ 2x=10$

$ x=\dfrac {10}{2}$

$x=5$

b) $15+2x=10-3x$

solução:

$ 2x+3x=10-15$ (isole incógnitas no primeiro membro)

$ 5x=-5$

$ x=\dfrac {-5}{5}$

$x=-1$

c) $-11+5x=2x+13+x$

solução:

$ 5x-2x-x=13+11$ (isole incógnitas no primeiro membro)

$ 2x=24$

$ x=\dfrac {24}{2}$

$x=12$

d) $3(4x-2)=-2(1-3x)$

solução:

$12x-6=-2+6x$ (resolve parenteses) 

$12x-6x =-2+6$ (isole incógnitas no primeiro membro)

$ 6x=-4$

$ x=\dfrac {-4}{6}$

$x=-\dfrac {2}{3}$ (simplificado por 2)

Problemas com uso de equações do primeiro Grau

1) João foi a um supermercado com $R\$ 200,00$. Comprou uma camisa uma calça cujo valor era $R\$ 5,00$ acima do dobro da camisa comprada na primeira loja. Sabendo que ele obteve $R\$ 15,00$ de troco. Qual o valor da camisa comprada por João?

2) Um tanque precisa ser enchido por completo. Sabendo que pela manhã $\dfrac {2}{5}$ foi preenchido. A tarde foram adicionados mais $420l$. A noite foram adicionados os $\dfrac {1}{4}$ restante. Qual a capacidade total desse tanque?

1) Solução
preço da camisa: $x$
preço da calça: $2x+5$
valor total da compra: $x+2x+5$
troco: $15$

O total da compra juntamente com o troco são exatamente os $R\$200,00$ que João tinha.

$x+2x+5+15=200$
$3x+20=200$
$3x=200-20$
$3x=180$
$x=\dfrac {180}{3}$
$x=60$

R: O valor da camisa é $R\$ 60,00$.

2) Solução
total: $x$
manhã: $\dfrac {2}{5}x$
tarde: $420$
noite: $\dfrac {1}{4}x$

A capacidade total é dada pela soma das quantidades adicionadas na manhã, tarde e noite.

$x=\dfrac {2}{5}x+420+\dfrac {1}{4}x$

$x-\dfrac {2}{5}x-\dfrac {1}{4}x=420$

$\left (1-\dfrac {2}{5}-\dfrac {1}{4}\right)x=420$ (colocando $x$ em evidência)

$\left(\dfrac{20}{20}-\dfrac{8}{20}-\dfrac{5}{20}\right)x=420$ (encontrando frações equivalentes)

$\left(\dfrac {20-8-5}{20}\right) x=420$

$\dfrac {7}{20}x=420$

$x=\dfrac {420 \cdot 20}{7}$

$x=1200$

R: A capacidade do tanque é de $1200 l$

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