Conjuntos

Na teoria de conjunto algumas noções são aceitas sem definição. São elas:

1.  Conjuntos,
2.  Elementos e
3. Pertinência. 

• A ideia de conjunto é a mesma ideia comum de coleção, agrupamento, etc. 

Exemplos:

a) $A= conjunto \ dos \ astros \  luminosos$

b) $B= conjunto \ dos \ sete \ pecados \  capitais$

• Cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento; 

Exemplos:

a) $Sol \ é \ um \ elemento \ do \ conjunto \ dos \  astros \ luminosos$

b) $Ira \ é \ um \ elemento \ do \ conjunto \ dos \  sete \ pecados\  capitais$

• Um conjunto pode ser representado por: Enumeração, Propriedades e Diagramas.

CONJUNTO POR ENUMERAÇÃO

Quando identificamos entre chaves e separados por virgulas os elementos do conjunto.
Exemplos:
a) $A=\{a,\ e, \ i, \ o, \ u \}$
b) $B=\{0,\ 2,\  4, \ 6,\ 8 \}$
c) $C=\{ 3, \ 4, \ 5, 6  \}$

CONJUNTO POR PROPRIEDADE

Quando identificamos entre chaves as propriedades de cada elemento do conjunto.
Exemplos:
a) $A=\{Vogais \ do\  alfabeto \}$
b) $B=\{Números \ pares \ menores \ que \ dez \}$
c) $C=\{x|x \in \mathbb {N} \wedge 2 <x<7 \}$

CONJUNTO POR DIAGRAMAS

São figuras fechadas dentro das quais escrevemos os elementos do conjunto.
Também chamados de Diagrama de Venn-Euler.

• Se um conjunto não possui elementos, dizemos que ele é um conjunto vazio;

Representação: $A= \{ \ \}$ Ou   $A= \emptyset$
Exemplos:
a) $Conjunto \ dos \ peixes \ que \ vivem  \ fora \ da \ água$

b) $Conjunto \ dos \ brasileiros \ que \ foram \ a \ lua$

• Se os elementos de um conjuntos A são elementos de conjunto B dizemos que A é subconjunto de B. 

$A \subset B \Leftrightarrow \{ \forall x | x \in A \Rightarrow x \in B \}$

Exemplos
$A=\{2,\ 4,\ 6\}$
$B=\{0, \ 1, \ 2,\ 3, \ 4,\ 5, \ 6, 7\}$
Como todos elementos de $A $ são elementos de $B$ então:
$A\subset B$ ou $B\supset A$

INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

Dado os conjuntos $A$ e $B$, se um elemento pertence ao conjunto $A$ e também pertence ao conjunto $B$, dizemos que ele pertence a $A$ $intersecção$ $B$.

$$A\cap B=\{x| x\in A \wedge x\in B \} $$

OBS. Se a intersecção de dois conjuntos é vazia, chamamos a esses conjuntos de $disjuntos$.

UNIÃO DE CONJUNTOS

Dado os conjuntos $A$ e $B$, chamamos $A$ $união $ $B$, ao conjunto por todos elementos que pertencem a $A $ e elementos que pertencem a $B $

$$A\cup B=\{x| x\in A\vee x\in B \} $$

DIFERENÇA  ENTRE CONJUNTOS

Diferença $A-B $

Dado os conjuntos $A$ e $B$, se um elemento pertence ao conjunto $A$ e não  pertence ao conjunto $B$, dizemos que ele pertence a diferença entre  $A$ e $B$.

$$A-B=\{x| x\in A \wedge x\not \in B \} $$


Diferença $B-A $

Dado os conjuntos $A$ e $B$, se um elemento não pertence ao conjunto $A$ e pertence ao conjunto $B$, dizemos que ele pertence a diferença entre  $B$ e $A$.

$$B-A=\{x| x\not \in A \wedge x\in B \} $$

Exemplos:
1. Dados os conjuntos  $A=\{2,3,4,5,6\}$ e   $B=\{4,5,6,7,8,9 \}$.
Determine:
a) $A\cap B$
b) $A\cup B$
c) $A-B$
d) $B-A$

Solução:
a) $A\cap B=\{4,5,6\}$
b) $A\cup B=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$
c) $A-B=\{2,3\}$
d) $B-A=\{7,8,9\}$

2. Dados os conjuntos  $A=\{a, b, c, d, e, f\}$ e   $B=\{g, h, i, j, k, l, m  \}$.
Determine:
a) $A\cap B$
b) $A\cup B$
c) $A-B$
d) $B-A$

Solução:
a) $A\cap B=\{\}$
b) $A\cup B=\{a,b,c,d,e,f,g,h, i, j, k,l,m\}$
c) $A-B=\{a,b,c,d,e,f\}=A$
d) $B-A=\{g,h,i, j, k, l, m\}=B$

3. Dados os conjuntos  $A=\{a,b,c,d, e, f, g, h, i, j\}$ e   $B=\{a, e, i  \}$.
Determine:
a) $A\cap B$
b) $A\cup B$
c) $A-B$
d) $B-A$

Solução:
a) $A\cap B=\{a,e,i\}=B$
b) $A\cup B=\{a,b,c,d,e,f,g,h, i, j\}=A$
c) $A-B=\{b,c,d, f,g, h, j\}$
d) $B-A=\{\}$